Übungen "Schwingungen und Wellen"

(E. Gerst)

7.1 Ein Kondensator der Kapazität 40 µF wird durch eine Gleichspannungsquelle mit der Spannung 10 V aufgeladen. Zur Zeit t = 0 wird er über eine Spule der Induktivität 630 H entladen. Die ohmschen Widerstände im Schwingkreis sind zu vernachlässigen
  1. Welche Schwingungsdauer und welche Kreisfrequenz hat die Schwingkreisschwingung?
  2. Berechnen Sie die Spannung U(t), die Ladung Q(t), die Stromstärke I(t) sowie die im Kondensator gespeicherte elektrische Energie We(t), die in der Spule gespeicherte magnetische Energie Wm(t) und die Gesamtenergie W(t) jeweils als Funktion der Zeit t.
  3. Nach welcher Zeit t1 erreicht die Stromstärke zum ersten Mal die Hälfte ihres Maximalwertes?
    Wieviel Prozent ihres Maximalwertes erreichen zur Zeit t1 die Spannung, die Energie des elektrischen und die Energie des magnetischen Feldes?
  4. Nach welcher Zeit t2 erreicht die Energie des elektrischen Feldes zum ersten Mal die Hälfte ihres Maximalwertes?
    Wieviel Prozent ihres Maximalwertes erreichen zur Zeit t2 die Energie des magnetischen Feldes, die Spannung und die Stromstärke?
  5. Nach welcher Zeit t3 ist die Spannung zum ersten Mal auf die Hälfte ihres Maximalwertes abgesunken?
    Wieviel Prozent ihres Maximalwertes erreichen zur Zeit t3 die Stromstärke, die Energie des elektrischen und die Energie des magnetischen Feldes?
  6. Zeichnen Sie für den Zeitraum 0 ≤ t ≤ 1,0 s unter Verwendung der berechneten Werte das U(t) - und das I(t) - Diagramm in ein Koordinatensystem sowie darunter das We(t) - und das Wm(t) - Diagramm in ein zweites Koordinatensystem.
Lösung:
  1. T = 1,0 s       ω= 6,3 s-1
  2. U(t) = 10 V · cos((6,3/s ·t)
    Q(t) = 4·10-4 C · cos((6,3/s ·t)
    I(t) = 2,5·10-3 A · sin((6,3/s ·t)
    We(t) = 2,·10-3 J · cos²((6,3/s ·t)
    Wm(t) = 2,·10-3 J · sin²((6,3/s ·t)      W(t) = 2,·10-3 J
  3. ω·t1 = π/6 → t1 = 0,083 s     Spannung 87%
    Wel 75 %    Wmag 25%
  4. ω·t2 = π/4 → t2 = 0,13 s     Spannung und Stromstärke 71%     Wel 50 %    Wmag 50%
  5. ω·t3 = π/3 → t3 = 0,17 s     Stromstärke 87%
    Wel 25 %    Wmag 75%